Сравнительный анализ доказательства теоремы о площади прямоугольника

КритерийКиселев А.П.Атанасян Л.С.Смирновы И.М. и В.А.
ИзмеренияОснование и высотаСмежные стороныСмежные стороны
Формулировка«площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту»«площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон»«площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон»
Единицы измеренияЛинейная и квадратная единицаНетЕдиничный отрезок и единичный квадрат
Основной метод доказательстваГеометрический (индуктивный)Алгебраический (дедуктивный)Геометрический (индуктивный)
ОсобенностиРазбиение прямоугольника на целое число квадратных единиц и их подсчет (рациональные числа) и применение пределов (иррациональные числа)Достроение до квадратаРазбиение на единичные квадраты и его части

Рассмотрим подробнее два последних критерия. Начнем с Атанасяна. Предложенный им метод доказательства строится на достаточно искусственном достроении прямоугольника до квадрата и комбинации двух утверждений: «площадь квадрата есть квадрат стороны» и «площадь фигуры есть сумма площадей её частей». Далее, путем нехитрых алгебраических преобразований получаем искомый результат.

В учебнике Смирновых дело обстоит иначе. Вначале доказывается промежуточное положение: «площадь прямоугольника со сторонами 1 и a равна a», - путем разбиения такого прямоугольника на единичные квадраты и его части (десятые, сотые и далее). В общем случае, со сторонами a и b, прямоугольник разбивается на меньшие прямоугольники со сторонами 1 и a (b), площадь которых можно вычислить, используя доказанное промежуточное положение. А так как площадь фигуры равна сумме площадей её частей, то утверждение считается доказанным.

Киселев предлагает рассмотреть три случая: целочисленные стороны, дробные стороны, иррациональные стороны. В случае целых сторон доказательство сводится к разбиению на «квадратные единицы» и их простой подсчет. В случае дробных сторон применяется более мелкое разбиение, и доказательство сводится к предыдущему случаю. В случае, когда стороны прямоугольника – иррациональные числа, применяется идея предела. Рассматриваются два прямоугольника – один со сторонами, чуть меньшими, чем исходный, второй – с чуть большими. Вычисляется площадь таких вспомогательных прямоугольников как в случае с дробными сторонами, и заключается, что площадь исходного прямоугольника лежит между этими значениями с любой точностью, что позволяет заключить, что доказываемое утверждение верно