Сравнительный анализ доказательства теоремы о площади прямоугольника
18 января 2022
| Критерий | Киселев А.П. | Атанасян Л.С. | Смирновы И.М. и В.А. |
|---|---|---|---|
| Измерения | Основание и высота | Смежные стороны | Смежные стороны |
| Формулировка | «площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту» | «площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон» | «площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон» |
| Единицы измерения | Линейная и квадратная единица | Нет | Единичный отрезок и единичный квадрат |
| Основной метод доказательства | Геометрический (индуктивный) | Алгебраический (дедуктивный) | Геометрический (индуктивный) |
| Особенности | Разбиение прямоугольника на целое число квадратных единиц и их подсчет (рациональные числа) и применение пределов (иррациональные числа) | Достроение до квадрата | Разбиение на единичные квадраты и его части |
Рассмотрим подробнее два последних критерия. Начнем с Атанасяна. Предложенный им метод доказательства строится на достаточно искусственном достроении прямоугольника до квадрата и комбинации двух утверждений: «площадь квадрата есть квадрат стороны» и «площадь фигуры есть сумма площадей её частей». Далее, путем нехитрых алгебраических преобразований получаем искомый результат.
В учебнике Смирновых дело обстоит иначе. Вначале доказывается промежуточное положение: «площадь прямоугольника со сторонами 1 и a равна a», - путем разбиения такого прямоугольника на единичные квадраты и его части (десятые, сотые и далее). В общем случае, со сторонами a и b, прямоугольник разбивается на меньшие прямоугольники со сторонами 1 и a (b), площадь которых можно вычислить, используя доказанное промежуточное положение. А так как площадь фигуры равна сумме площадей её частей, то утверждение считается доказанным.
Киселев предлагает рассмотреть три случая: целочисленные стороны, дробные стороны, иррациональные стороны. В случае целых сторон доказательство сводится к разбиению на «квадратные единицы» и их простой подсчет. В случае дробных сторон применяется более мелкое разбиение, и доказательство сводится к предыдущему случаю. В случае, когда стороны прямоугольника – иррациональные числа, применяется идея предела. Рассматриваются два прямоугольника – один со сторонами, чуть меньшими, чем исходный, второй – с чуть большими. Вычисляется площадь таких вспомогательных прямоугольников как в случае с дробными сторонами, и заключается, что площадь исходного прямоугольника лежит между этими значениями с любой точностью, что позволяет заключить, что доказываемое утверждение верно